مقدمه: ریاضیات از زندگی مشاهده و تجربه برخاست و سرانجام هر کشف ریاضی دوباره به زندگی بر می گردد و کاربرد خود را پیدا می کند. شاید جملات بالا پاسخی به این سوال باشد که آن بخش از ریاضیات که بوسیله ریاضی دان و با نیروی درونی ریاضیات بوجود می آید ممکن است در عمل و زندگی کاربرد پیدا کند یا تنها به صورت نظریه هایی جدا از کاربرد خود باقی می مانند. برای بیشتر روشن شدن مطلب به دو پیشامد زیر توجه کنید:

1 . لایب نیتس ریاضی دان آلمانی در حدود سیصد سال پیش زندگی می کرد که از جمله کارهای او کشف عدد نویسی در مبانی 2 بود می دانید که در این شیوه عدد نویسی تنها از دو رقم صفر و یک استفاده می شود. در زمان او و مدت ها پس از او کسی به این کشف توجه نکرد اما وقتی به اندیشه ساختن ماشین حساب و سپس رایانه افتادند متوجه شدند که تنها با استفاده از دستگاه عدد نویسی با مبنای 2 می توان به نتیجه رسید. کشف لایب نیتس پس از دویست سال کاربرد خود را یافت.

2. پواسون ریاضی دان فرانسوی در حدود 200 سال پیش روی تاثیر فلز بر عقربه قطب نما کار می کرد و به نتیجه های دقیقی رسید قطب نما راهنمای دریانوردان بود ولی در آن زمان ساختمان اصلی کشتی ها از چوب بود و اندک فلزی که در آن به کار می رفت تاثیری بر عقربه های قطب نما نمی گذاشت. به همین دلیل به نتیجه گیری های پواسون کسی توجه نکرد این نتیجه ها در درون ریاضیات به دست آمده بود و کاربردی در عمل نداشت. و دریانوردان بدون توجه به کار پواسون با آسودگی و بدون خطر از دریاها می گذشتند. تا اینکه پس از 40 سال که 22 سال از مرگ پواسون می گذشت در مدت یک ماه همه کشتی هایی که از انگلستان حرکت کرده بودند راه خود را گم کرده و غرق شدند وحشت دولت انگلیس را فراگرفت که چه عاملی سبب نابودی کشتی ها شده است. وپس از تحقیق مشخص شد که به دلیل پیشرفت صنعت کشتی سازی میزان فلزی که در بدنه و ساختمان کشتی به کار میرود به اندازه ای رسیده است که در عمل عقربه های قطب نما اثر جدی می گذارد ناگزیر به کارهای پواسون روی آوردند و با توجه به کشف او توانستند امنیت کشتی ها را تضمین کنند. پس باید به دانش آموزان آموخت که ریاضیات و رابطه های کشف شده در آن اگر امروز در زندگی ما موثر نباشند در زندگی آیندگان موثرند.

فرضیه سازی در ریاضیات: نگاه اجمالی به زندگی بسیاری از دانشمندان نشان می دهد آنان چگونه یک قانون را کشف کرده اند آنان به یک حادثه توجه کرده و از خود پرسیده اند آیا این اتفاق در حالت های مختلف نتیجه یکسانی دارد یا خیر. سپس آن را در شرایط متفاوت بررسی کرده اند چنانچه به نتایج مشابهی رسیده باشند آن را به بقیه حالات تعمیم داده و به عنوان یک فرضیه بیان نموده اند. ما نیز باید طریقه فرضیه سازی را به دانش آموزان آموزش دهیم و از ذهنیات آنها حمایت کرده تا بتوانند آنها را منظم کنند و بتوانند برای خود فرضیه ای هر چند نادرست بسازند به عنوان مثال به فرضیه سازی زیر توسط یک دانش آموز توجه کنید.

آیا روشی برای محاسبه اختلاف مجذور دو عدد وجود دارد؟             9=16-25=4²-5² 

چه جالب. جواب (9) مجموع دو عدد 4و5 می باشد. بهتر است دو عدد دیگر مثال بزنیم

13=36-49=6²- 7²    باز هم جواب 13 مجموع دو عدد 7و6 است. پس می توان فرضیه ای نوشت که تفاضل مجذور دو عدد برابر است با حاصل جمع همان دو عدد حال باید او فرضیه کشف شده خود را با چند مثال دیگر آزمایش کند.  20=16-36=4²-6² 

25=9-36=3²-6² . جواب 20 مجموع دو عدد 4و6 نمیشود. پس می بینید این فرضیه برای همه اعداد درست نیست پس شرط درست بودن این فرضیه چیست؟ اگر به اعدادهر یک از عبارتها توجه شود پی خواهیم برد که این فرضیه زمانی درست است که عددهای عبارت متوالی باشند. پس باید به تفکرات بچه ها احترام گذاشت و آنها را تشویق به این امر کرد تا ذهن فعال و پویا و جستجو گر داشته باشند.

عددهای فیثاغورث: a²+b²=c² . بنابر قضیه فیثاغورث این عددها می توانند اضلاع یک مثلث قائم الزاویه باشند و به همین ترتیب b,a را اضلاع مجاور به زاویه قائمه و c را وتر گویند. واضح است که اگر سه عدد c,b,a عددهای فیثاغورث باشند آنگاه pa,pb,pc هم سه عدد فیثاغورثی خواهند بود(p عددی مثبت و صحیح است) و برعکس اگر سه عدد فیثاغورثی مقسوم علیه مشترکی داشته باشند می توان آنها را به مقسوم علیه مشترکشان کوچک کرد و سه عدد فیثاغورثی جدید پیدا کرد. در مرحله اول باید سه عدد فیثاغورثی پیدا کنیم که دوبه دو نسبت به هم اول باشند ثابت می کنیم که از سه عدد فیثاغورثی اولیه (a,b,c) یکی از اضلاع مجاور به زاویه قائمه زوج و دیگری فرد است.

برهان خلف : اگر b,a اضلاع زاویه قائمه باشند فرض می کنیم هر دو زوج باشند پس در نتیجه سه عدد c,b,a مقسوم علیه مشترکی مساوی 2 دارند.       

و این اختلاف فرض است پس b,a هردو زوج نیستند. اگر b,a اضلاع زاویه قائمه باشند فرض می کنیم هردو فرد باشند پس  a=2x+1   ,  b=2y+1         

هرعدد مربع کامل که زوج باشد حتما بر 4 بخش پذیر است. اما دررابطه 1 می بینید که c2 مربع کامل زوج است اما حاصلش بر 4 بخشپذیر است نیست و باقیمانده آن 2 می شود و این خلاف است پس b,a هر دو فرد نمی توانند باشند. پس a,b یکی فرد و دیگری زوج است.  

پیدا کردن رابطه ای برای اعداد فیثاغورث: فرض می کنیم a عددی فرد و b عددی زوج باشد. پس از تساوی a²+b²=c²→ a²=c²-b²=(c+b)(c+b) عوامل (c+b),(c-b) نسبت به هم اولند بدیهی است زیرا b,c نسبت به هم اولند پس مجموع آنها و اختلاف آنها نیز نسبت به هم اولند. اما این مطلب قابل اثبات نیز هست زیرا اگر این دوعدد مقسوم علیه مشترکی غیر از واحد داشته باشند در این صورت حاصل جمع و تفریق و حاصلضرب آنها نیز برآن مقسوم علیه مشترک بخش پذیرند.

(c+b)-(c-b) = 2b

(c+b)+(c-b)=2c

(c+b)(c-b)=c²-b2=a²

یعنی عددهای a2,2c,2b مقسوم علیه مشترکی دارند که این مقسوم علیه مشترک 2 نمی توان باشد (چون a عددی فرد است) واز طرفی c,b,a نسبت به هم اولند پس مقسوم علیه مشترک آنها همان یک می باشد. پس c+b و c-b نسبت به هم اولند. وقتی ضرب دو عدد نسبت به هم اول مجذور کامل باشد هر یک از آنها باید مجذور کامل باشد.

A²=(c+b)(c-b)=m²n²→a²=m²n²→a=mn 

N,m عددهای فرد ونسبت به هم  اولند و (m>n) است. (چون c+b>c-b ) چون a فرد است پس باید n,m هم فرد باشند. به سادگی می توان دید که به ازای هر دو عدد فرد متباین n,m سه عدد فیثاغورثی a,b,c بدست می آید. مثال: m=3       n=1    3²+4²=5²

M=5       n=3       15²+8²=17²

بقیه عددهای فیثاغورثی نسبت به هم اول نسیتند.( اعداد فیثاغورثی تولید شده توسط اعداد اولیه) برخی دیگر از خصوصیات اعداد فیثاغورث:

1 - یک از اضلاع زاویه قائمه مضربی از 3 است.

2- یکی از اضلاع زاویه قائمه مضربی از 4 است

3- یکی از سه عدد فیثاغورثی باید مضربی از 5 باشد.

چند روش دیگر برای بدست آوردن اعداد فیثاغورثی:

1 . الف- m عدد طبیعی فرد بزرگتر ای یک       

ب- m عدد طبیعی زوج بزرگتر از 2              

2 . دو عدد n,m را چنان اختیار کنیم که 2mn مجذور کامل باشد.

3. m عدد طبیعی بزرگتر از یک باشد.        

حل چند مسئله جالب:

1 . کشتی می تواند فاصله شهر a تا b را بدون توقف در 5 ساعت طی کند. (مسیر رودخانه از aبهb است) برعکس وقتی خلاف جریان آب حرکت می کند این فاصله را در 7 ساعت طی می کند. (به شرطی که سرعت خود کشتی ثابت و در طول مسیر هم توقف نکند) اگر جسمی با جریان آب حرکت کند(یعنی سرعتش همان سرعت آب باشد) پس از چند ساعت از شهر a به b  می رسد؟

حل: فرض کنیم کشتی در x ساعت از aبه b می رود. به شرط ساکن بودن آب(سرعت خود کشتی) وجسمی که با آب رودخانه حرکت می کند با y ساعت در این صورت کشتی در هر ساعت  و جسم  آن را طی می کند.   

2. سه دانش آموز ریاضی در شهر گردش می کردند متوجه شدند یک راننده اتومبیل بطرز بدی قوانین راهنمایی را نقض می کند. هیچیک از دانش آموزان شماره ماشین را (4 رقمی) دقیق ندید ولی هر یک خاصیتی از آن را فهمیده بودند. یکی از آنها گفت دو رقم اول عدد با هم برابر بود نفر دوم گفت دورقم دوم نیز با هم برابر بود و نفر سوم گفت عدد چهاررقمی مربع کامل بود. با این معلومات آیا می توان شماره ماشین را پیدا کرد؟

حل:  عدد بر یازده بخش پذیر است. و مربع کامل است پس بر 11² نیز بخشپذیر است. بنابراین :

 . بر11 بخشپذیر است پس a+b بر 11 بخشپذیر است. اما a,b یک رقمی هستند. و b که سمت راست است و عدد مجذور کامل است پس (0,1,4,5,6,9)b می باشد در نتیجه a یکی از اعداد (2و5و6و7و10و11) می باشد پس  a=11-b      که 2(81)=7744 مجذور کامل است و جواب است.

A=7    b=4   7744           

A=6     b=5   6655  

A=5     b=6   5566

A=2     b=9    2299    

نظرات شما عزیزان:

نام :

آدرس ایمیل:

وب سایت/بلاگ :

متن پیام:

نظر خصوصی

 کد را وارد نمایید:

 

 

 

عکس شما

آپلود عکس دلخواه: